Salah satu masalah yang sering terjadi pada bidang ilmiah adalah masalah untuk mencari akar-akar persamaan berbentuk

            f(x) = 0                                                                                                        (1)

 

Fungsi f di sini adalah fungsi atau persamaan tak linear.  Nilai x = x0 yang memenuhi (1) disebut akar persamaan atau fungsi tersebut.  Sehingga x0 di sini menggambarkan fungsi tersebut memotong sumbu-x di x = x0.

 

            Persamaan atau fungsi f dapat berbentuk sebagai berikut:

(a) Persamaan aljabar atau polinomial

f(x) = pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0  dengan an ¹ 0, n ³ 2                           (2)

 

(b) Persamaan transenden

Yaitu persamaan yang mengandung fungsi antara lain trigonometri, logaritma, atau eksponen

Contoh:   (i) ex + cos(x) = 0       (ii) ln(x) + log(x2) = 0

 

(c) persamaan campuran

Contoh:   (i) x3 sin(x) + x = 0                              (ii) x2 + log(x) = 0

 

Untuk polinomial derajat dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus akar persamaan kuadrat.  Misalkan bentuk persamaan kuadrat adalah:

            ax2 + bx + c = 0

 

dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus berikut.

            x12 =

Untuk polinomial derajat tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat kompleks dan jarang digunakan. Sedangkan untuk menyelesaikan polinomial dengan derajat yang lebih tinggi atau persamaan tak linear selain polinomial, tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya.  Metode Numerik memberikan cara-cara untuk menyelesaikan bentuk tersebut, yaitu metode hampiran. Penyelesaian numerik dilakukan dengan hampiran yang berurutan (metode iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya.  Dengan melakukan sejumlah proisedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.Metode iterasi mempunyai keuntungan bahwa umumnya tidak sangat terpengaruh oleh merambatnya error pembulatan.

 

a.  LOKALISASI AKAR

            Lokasi akar persamaan tak linear diselidiki untuk memperoleh tebakan awal, yaitu:

(a) Cara grafik

Cara grafik ini dibedakan menjadi dua macam yaitu:

(i) Cara grafik tunggal

Misalkan f(x) = exp(-x) – x

 

 

 

Gambar-1

 

Gambar-1 bisa dibuat dengan Matlab sbb.

x=-0.1:0.01:0.67;

f=exp(-x) – x;

x1=-0.2:0.01:1.5;

y1=0.*x1;

y2=-0.2:0.01:1.5;x2=0.*y2;

plot(x,f,x1,y1,’r’,x2,y2,’r’);

axis([-0.2  1.5  -0.2  1.5]);

gtext(‘f(x)=exp(-x)-x’);

gtext(‘akar’);

 

Dari Gambar-1, terlihat bahwa fungsi f(x) = exp(-x) – x memotong sumbu-x, yaitu (x0,0).  Titik perpotongan tersebut, absisnya (nilai x0) merupakan akar dari f(x0) = exp(-x0) – x0 = 0.

 

(ii) Cara grafik ganda

      Misalkan f(x) = exp(-x) – x    dan   f1(x) = exp(x),   f2(x) = x,

maka f(x) = f1(x) – f2(x)

sehingga f(x) = 0 Û f1(x) = f2(x)

 

 

Gambar-2

Gambar-2 bisa dibuat dengan Matlab sbb.

x=-0.1:0.01:2.5;

f1=exp(-x);

f2=x;

x1=-0.2:0.01:2.5;

y1=0.*x1;

y2=-0.2:0.01:1.5;x2=0.*y2;

plot(x,f1,x,f2,x1,y1,’r’,x2,y2,’r’);

axis([-0.2  2.5  -0.2  1.5]);

gtext(‘f1(x)=exp(-x)’);

gtext(‘f2(x)=x’);

gtext(‘akar’);

 

Dari Gambar-2, terlihat bahwa fungsi f1 dan f2 saling berpotongan, yaitu (x0, y0). Titik perpotongan tersebut, absisnya (nilai x0) merupakan akar dari

f(x0) = exp(-x0) – x0 = 0.

 

(b) Cara tabulasi

Nilai-nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung dengan membagi interval tersebut menjadi sub interval – sub interval, dan nilai-nilai tersebut ditulis dalam bentuk tabulasi.  Jika pada suatu interval nilai fungsi berubah tanda, maka pada interval tersebut ada akar.

Misalkan f(x) = exp(-x) – x, kemudian dibuat tabulasi dengan bantuan Matlab, yaitu:

 

fprintf(‘ x    f(x)   tanda\n’);

fprintf(‘——————\n’);

i=1;beda=0.1;

for x=0:beda:1;

   f=exp(-x) – x;

   fprintf(‘%3.1f  %6.3f’,x,f);

   if sign(f)< 0

      tanda(i)=’-’;

      fprintf(‘    %s\n’,tanda(i));

   else

      if sign(f)> 0

         tanda(i)=’+’;

         fprintf(‘    %s\n’,tanda(i));

      else

         tanda(i)=’0′;

         fprintf(‘    %s\n’,tanda(i));

      end; 

   end;  

   i=i+1;

end;

i=1;

for x=0:0.1:1;

   if tanda(i)==’0′

      fprintf(‘Akarnya adalah = %6.4f\n’,x);

   else

      if i >1

         if tanda(i)~= tanda(i-1)

            a=x-beda;

            b=x;

            fprintf(‘Akar ada di interval [%3.1f, %3.1f]\n’, a,b);

         end;

      end;

   end;

   i=i+1;

end;  

 

maka hasil tabulasinya adalah sbb.

 

x    f(x)   tanda

——————

0.0   1.000    +

0.1   0.805    +

0.2   0.619    +

0.3   0.441    +

0.4   0.270    +

0.5   0.107    +

0.6  -0.051    -

0.7  -0.203    -

0.8  -0.351    -

0.9  -0.493    -

1.0  -0.632    -

Akar ada di interval [0.5, 0.6]

 

About these ads